2016年10月26日水曜日

0.99999…=1の説明で中学生を煙に巻く方法

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0.999999... = 1 が理解できない中学生」と言う秀逸な小噺に、はてなブックマークで多くのコメントが残っていた。元ネタは教師が無限小数における四則演算を説明しなかったのでおかしい事になっているだけなのだが、ネット界隈の数学知識が不安になるものもちらほらある*1。また、中学生にキッチリ説明するのは大変だと言う趣旨のエントリー*2を書いている人もいるのだが、極限を使って説明してしまえば、そうでもないかも知れない。

実はWikipediaに0.999...と言う項目があって、そこに証明方法が紹介されていて、そう複雑な議論ではない事がすぐ確認できる。

(1)

ここでnは自然数。1行である。1-0.12=0.99や1-0.13=0.999を計算してもらう必要はあるかも知れないが、0.99999…の定義をとしてしまうのがポイントだ。極限が分からないと言われたら、ここではnが無限のときの0.1nを表していると説明する。

念のために、(1)式に必要な以下の式を背理法で証明しておこう。

(2)

この(2)式が成立しないとすると、0.1n>0であるから、以下の(3)式があるεで成立する事になる。

(3)

10m>1/εを満たす自然数mが存在するか考える。mは無限に大きくできるので、ある1/εに対して、それより大きい10mになるmが存在する。ここで逆数を取ると、0.1m<εになる。0.1nはnの単調減少列なので、n≧mのときに0.1n≧εは成立しないから、(3)式はいかなるεでも成立しない。つまり、(2)式が成立する。ε-N論法。

数学徒から見ればこれも厳密ではないのかも知れないが、中学生を煙に巻くにはこんなんで良いのではないであろうか。等比級数の公式を使った方が分かりやすいが、気にしない。なお、ガチに頭の良い中学生が現れた場合は、大学の数学の教科書を紹介してやれば良い。いや、最初から検索しろと言えばいいのか。

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